Μαθητικό Blog τέχνης και επιστήμης

Μη ευκλείδιες γεωμετρίες

Μη ευκλείδιες γεωμετρίες
Της Όλγας Χαρβαλιά (1ο Πρότυπο Λύκειο Αθήνας)

Όλοι έχουμε κάποια στιγμή στη ζωή μας διδαχτεί γεωμετρία. Και είτε αυτό ήταν πριν δύο ώρες, είτε πριν σαράντα χρόνια, είτε θυμόμαστε πολλά, είτε ελάχιστα, μπορούμε, και μόνο με βάση τη λογική μας, να σκεφτούμε κάποιες προτάσεις που ξέρουμε πως ισχύουν. Για παράδειγμα, από δύο σημεία μπορεί να περνάει μόνο μια ευθεία. Δεν μπορεί να υπάρξει ένα τρίγωνο με δύο ορθές γωνίες. Δύο παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται. Ισχύουν όμως πάντα αυτές οι προτάσεις; Σίγουρα, στην γεωμετρία που διδασκόμαστε στο σχολείο, ισχύουν πάντα. Κι αν όμως γινόταν, σε κάποια άλλη γεωμετρία, που ισχύουν διαφορετικοί κανόνες, να υπάρξουν τρίγωνα με δύο παράλληλες πλευρές; Μια συζήτηση που κάναμε πάνω σε αυτό το θέμα την ώρα του μαθήματος της Γεωμετρίας, μου έδωσε την αφορμή να αναρωτηθώ: Υπάρχει τελικά μόνο μία γεωμετρία; Με αυτή την απορία στο μυαλό, ας δούμε πώς ξεκίνησαν όλα...

Ο Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης ήταν αυτός που όρισε κάποιες υποθέσεις στη γεωμετρία, οι οποίες ονομάζονται αξιώματα, από τα οποία προκύπτουν όλα τα υπόλοιπα θεωρήματα και πορίσματα, τα οποία θεωρούνται αληθή επειδή έχουν αποδειχτεί με βάση αυτά. Αν και τα αξιώματα δεν μπορούν να αποδειχθούν με βάση κάποιο θεώρημα, διαισθητικά φαίνονται προφανή. Ως τώρα δεν έχει βρεθεί καμία περίπτωση που να διαψεύδει αυτά τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη (στην ευκλείδια πάντα γεωμετρία).

Τα πέντε αξιώματα είναι τα εξής:

  1. Μεταξύ οποιονδήποτε δύο σημείων μπορεί να σχηματιστεί μοναδική ευθεία γραμμή.
  2. Μια ευθεία μπορεί να επεκταθεί απεριόριστα.
  3. Ένας κύκλος ορίζεται από ένα κέντρο και μια απόσταση (ακτίνα).
  4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες.
  5. Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες, τότε αυτές οι δύο αν επεκταθούν επ' αόριστον θα τμηθούν απ' την μεριά που οι εσωτερικές γωνίες που σχηματίζονται έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές.

Σε αντίθεση με τα τέσσερα πρώτα αξιώματα, το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη, γνωστό και ως το αξίωμα των παράλληλων, ήταν πιο περίπλοκα διατυπωμένο και έμοιαζε λιγότερο προφανές. Πολύ μαθηματικοί αμφισβήτησαν το αν το αξίωμα των παράλληλων είναι όντως αξίωμα ή μπορεί τελικά να αποδειχτεί με βάση τα υπόλοιπα αξιώματα και άρα θα έπρεπε να καταταχθεί ως θεώρημα. Παρ’ όλα αυτά, κανένας δεν κατάφερε να το αποδείξει, ούτε να το διαψεύσει.

Όλοι αυτοί οι μαθηματικοί προσπάθησαν να διατυπώσουν μια μη Ευκλείδεια Γεωμετρία, ωστόσο έδιναν εσφαλμένες αποδείξεις του αξιώματος των παραλλήλων, που περιείχαν υποθέσεις οι οποίες ήταν ουσιαστικά ισοδύναμες με το αξίωμα των παραλλήλων. Μόνο πολύ αργότερα, στις αρχές του 19ου αιώνα, ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Λομπατσέφσκι και ο Ούγγρος μαθηματικός Μπολιάι, δημιούργησαν χωριστά την πρώτη μη ευκλείδια γεωμετρία η οποία ονομάστηκε υπερβολική γεωμετρία ή γεωμετρία Bolyai-Lobachevskian. Αργότερα, ο μαθηματικός Μπέρναρντ Ρίμαν δημιούργησε την ελλειπτική γεωμετρία, ή γεωμετρία Riemann.

Οι διαφορές των μη ευκλείδιων γεωμετρίων είναι ουσιαστικά στην φύση των παράλληλων, αφού δημιουργήθηκαν με βάση το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, οι παράλληλες ευθείες διατηρούν σταθερή απόσταση η μία από την άλλη ακόμα και αν επεκταθούν στο άπειρο. Στην υπερβολική γεωμετρία καμπυλώνουν απομακρυνόμενες η μία από την άλλη, αυξάνοντας την μεταξύ τους απόσταση. Τέλος, στην ελλειπτική γεωμετρία καμπυλώνουν η μία προς την άλλη και τέμνονται.

Έτσι στην υπερβολική γεωμετρία το σύνολο των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180 μοίρες. Η υπερβολική γεωμετρία ουσιαστικά βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο το οποίο δεν είναι ίσιο αλλά καμπυλώνει. (Όπως στη εικόνα)

Ενώ στην ελλειπτική γεωμετρία το σύνολο των γωνιών ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Σε αντίθεση με την υπερβολική γεωμετρία, η ελλειπτική γεωμετρία είναι σε ένα καμπύλο επίπεδο όπως η επιφάνεια μιας σφαίρας. (Όπως στην εικόνα).

Όταν ανακαλύφθηκαν, οι μη ευκλείδιες γεωμετρίες δεν έγιναν ευρέως αποδεκτές, καθώς δεν είχαν καμία χρήση, αφού τα θεωρήματα τους δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν πρακτικά. Όμως ανακαλύφθηκε πως τελικά, το σύμπαν δεν λειτουργεί με βάση την ευκλείδια γεωμετρία, αλλά την μη ευκλείδια γεωμετρία του Ρίμαν (την ελλειπτική), πράγμα που αποδεικνύει και η θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν.

Ευχαριστίες:
Ευχαριστώ τον καθηγητή μου, κο Καραχρήστο Κωνσταντίνο, για την καθοδήγηση.

Πηγές: